matemática

Monday, July 18, 2005

Matemática

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Define que es un polinomio en R. Clases y ejemplos.



Un polinomio es una expresión algebráica, donde x es una variable escalar, y n es un entero no negativo . Un polinomio es la suma de monomios cada uno de los cuales se denomina término del polinomio.
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Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos. Al polinomio que tiene un solo término se le llama monomio. Si el polinomio tiene dos términos se llama un binomio y si tiene tres términos se llama trinomio. Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contiene.
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Ejemplos:
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Monomios

Binomios

Trinomios

3x

7x – 4

n2 + 3n + 2

25

3ª + 5b

3x4 – x3 + 5x2

- 9 x2 y3

n2 – 3n

4xy + 9xy2 – 11xy4

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Páginas Web consultadas:
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Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
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Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
http://platea.pntic.mec.es/~ascatala/polinomios.htm

Encarta; polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#endads

Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
http://ciencias.bc.inter.edu/ntoro/polinw.htm
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Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm


2. Aplicaciones

Son importantes en la informática, en los formateos que utilizan códigos e incógnitas, por eso los informáticos utilizan los polinomios constantemente. Los polinomios se aplican en Matemáticas, reacciones químicas, electricidad y magnetismo o movimientos y fuerzas en los de Física y Química. También son aplicados en la estadistica, para realizar cuadros estadisticos.
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Páginas Web consultadas:
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Profes.net (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
http://www.frances.profes.net/apieaula2.asp?id_contenido=45787
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Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
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3. Investiga sobre: (Sustenta con ejemplos)
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  • Grado de un monomio: grado relativo, grado absoluto.

El grado relativo de un monomio es el exponente que afecta a cada variable. La parte numérica no tiene ninguna importancia.

Ejemplos: (4a3 b2)

  1. GR(a) = 3 : El Grado Relativo con respecto a la letra "a" es 3.
  2. GR(b) = 2 : El Grado Relativo con respecto a la letra "b" es 2.ç

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El grado absoluto de un monomio, simplemente es la suma de los exponentes de todas y cada una de las letras.

Ejemplos: 1.- (4a3 b2) ; 2.- (x5 y3 z)

  1. El GA = 3 + 2 : El grado absoluto de este monomio es 5.
  2. El GA = 5 + 3 + 1 : El grado absoluto de este monomio es 9.
  • Grado de un polinomio: grado relativo, grado absoluto, grado de las operaciones algebraicas.
  • En un polinomio, como sabemos se encuentran más de una variable, entonces si hay dos variables (binomio), habrán dos grados relativos; si hay tres variables (trinomio), habrán tres grados relativos y así susecivamente. En un polinomio, los grados relativos son los exponentes más elevados que se encuantran en las variables.

    Ejemplos: (4a3 3b2 + 5a5 5b1)

    1. GR (a) = 5 : El Grado Relativo, con respecto a la letra "a" es 5.
    2. GR (b) = 2 : El Grado Relativo, con respecto a la letra "b" es 2.

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    Para obtener el grado absoluto de un polinomio, se siguen algunos pasos. Primero trabajo independientemente cada término y sumo los exponentes; luego con el siguiente término y así sucesivamente. Finalmente me quedaré como Grado Absoluto con la suma que de un resultado mayor.

    Ejemplos: (4a3 3b2 + 5a5 5b1)

    1. GA (1º term.) = 3 + 2 : El gardo absoluto de este término es 5.
    2. GA (2º term.) = 5 + 1 : El grado absoluto de este término es 6.
    3. GA (polinomio) : El grado absoluto más elevado: 6.
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    • Polinomios especiales.

    Polinomio completo: Podemos decir que un polinomio es completo con respecto a una letra cuando contiene todos los exponentes consecutivos de una letra, desde el más alto, al más bajo.

    Ejemplos:

    1. 6x3 -5x + 3x5 +x2 -x4 +5
    2. 4z6 + 7z3 - 2z5 – 6z2 + 3z – 8z4

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    Polinomios Ordenados: Se le puede llamar polinomios ordenados cuando los exponentes van en orden. Se les llama polinomios ordenados ascendentes cuando los exponentes van subiendo y polinomios ordenados descendentes cuando los exponentes van bajando.

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    Ejemplos:

    1. P.O.A. = 5a2 +3a3 -a5 +a8
    2. P.O.D. = 5x6 +3x5 -2x2 +x1

    Polinomios homogéneos: Se les puede llamar polinomios homogéneos a los que el resultado de la suma de los exponentes de cada término es el mismo.

    Ejemplos: (3a2b + 5ab2 -3abc)

    1. Primer término: 3a2b1, sumados los exponentes 2 +1 =3
    2. Segundo término: +5a1b2, sumados los exponentes 1 +2 = 3
    3. Tercer término: -9a1b1c1, sumados los exponentes 1 +1 +1 = 3

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    • Operaciones con polinomios.

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    Adición:
    Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes. La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

    Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:


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    Sustracción:
    Para llevar a a cabo la sustracción entre dos polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo, es decir, se cambia el signo a todos los términos del segundo polinomioy se suman los resultados.

    Multiplicación: Para multiplicar dos polinomios se deben multiplicar todos los monomios de unos por todos los del otro y sumar los resultados. ("Atención especial al producto de potencias de la misma base")

    Si uno de los dos polinomios es un monomio, la operación es simple como se puede ver en la escena siguiente, en la que se pueden variar los coeficientes.

    En el caso en que ambos polinomios consten de varios términos, se puede indicar la multiplicación de forma semejante a como se hace con número de varias cifras, cuidando de situar debajo de cada monomio los que sean semejantes.

    Polinomios

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    Productos natables. Casos. Identidades de Legendre: Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. La Identidades de Legendre son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

    1. Binomio de Suma al Cuadrado

      ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

    2. Binomio Diferencia al Cuadrado

      ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

    3. Diferencia de Cuadrados

      ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

    4. Binomio Suma al Cubo

      ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

      = a3 + b3 + 3 ab (a + b)

    5. Binomio Diferencia al Cubo

      ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

    6. Suma de dos Cubos

      a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

  • Diferencia de Cubos

    a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

  • Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

    ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

  • Trinomio Suma al Cubo

    ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

  • Identidades de Legendre

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

    ( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

  • Producto de dos binomios que tienen un término común

    ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

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    Páginas Web consultadas:

    Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
    http://es.encarta.msn.com/encyclopedia_761575923/Polinomio.html#endads

    Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
    http://html.rincondelvago.com/polinomios_2.html

    Grado relativo y absoluto (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
    http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra1.htm

    Fisicanet; polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
    http://fisicanet.com.ar/matematica/m2ap01/apm2_20a_polinomios.html

    Polinomios (ref.: 18 de julio 2005) Disponible en:
    http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml

    • Ejercicios y problemas aplicativos

    Para poder realizar ejercicios entren a la siguiente página:
    http://www.eneayudas.cl/productosnot1entrada.htm#a